注：Mathjaxのtestのための投稿です
ベイズフィルタアルゴリズムの正しさは，次のような帰納法で示すことができる．
状態$x_t$が完備であるときに，事前確率分布から，事後確率分布は計算可能である．
$$p(x_t|z_{1:t},u_{1:t})=\frac{p(z_t|x_t,z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t})}{p(z_t|z_{1:t-1},u_{1:t})}$$
$$=\eta p(z_t|x_t,z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t})$$
もう一度再確認すると，状態の完備性とは，状態が将来の状態遷移に影響を及ぼさないことである．
さらに，計測値は状態からのみ左右される．
$$ p(z_t|x_t,z_{1:t-1},u_{1:t})=p(z_t|x_t)$$
これを用いると，
$$p(x_t|z_{1:t},u_{1:t})=\eta p(z_t|x_t)p(x_t|z_{t-1},u_{1:t})$$
となる．
すなわち，
$$bel(x_t)=\eta p(z_t|x_t) \bar{bel(x_t)}$$
となる．
つぎに，全確率の定理より計測前の事後信念は次のように展開できる．
$$\bar{bel}(x_t) = p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t})$$
$$= \int p(x_t|x_{t-1},z_{1:t-1},u_{1:t}) p(x_{t-1}|z_{1:t-1},u_{1:t})dx_{t-1}$$
ここで，状態の完備性により以下の等式が成り立つ．
$$p(x_t|x_{t-1},z_{1:t-1},u_{1:t}) = p(x_t|x_{t-1},u_t)$$
ここで，$u_t$のみ残るのは，状態$x_{t-1}$の前に$u_t$が発生することがないからである．
つまり，$u_t$のみ状態の完備性の条件外なのである．そして，この右辺に出てくる確率は，状態遷移確率に他ならない．
以上により，以下が成立する．
$$\bar{bel}(x_t) = \int p(x_t|x_{t-1},u_t)bel(x_{t-1})dx_{t-1}$$
すなわち，ベイズフィルタのアルゴリズムが証明された．